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Blog: Der Mythos der Normalverteilung und die statistische Prozesskontrolle
Einführung
Nicht alle Daten sind normal verteilt. Es gibt viele verschiedene mögliche Verteilungen. In der Welt der Qualitätstechnik ist es eine weit verbreitete Meinung, dass Sie keine Regelkarten anwenden können, wenn die Daten nicht normal verteilt sind, denn Normalität ist eine Voraussetzung für die Anwendung von Regelkarten. Es stellt sich heraus, dass diese Annahme nicht zutrifft – und in diesem Blog werden wir erklären, warum.
Was ist die Normalverteilungskurve?
Eine Normalverteilung – auch bekannt als Glockenkurve, Gauß-Verteilung oder Gauß-Verteilung – ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die glockenförmig und symmetrisch um den Mittelwert ist. Sie ist die am häufigsten verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Statistik.
Bei einer Normalverteilung liegen etwa 68,27% der Daten innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert, 95,45% der Daten innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,73% der Daten innerhalb von drei Standardabweichungen.
Normalverteilung in der statistischen Prozesskontrolle
Die Verwendung der Normalverteilung hat Wurzeln, die fast ein Jahrhundert zurückreichen. Als die statistische Prozesskontrolle in den 1920er Jahren von Walter Shewhart eingeführt wurde, basierten viele der Tools, die wir heute noch verwenden, wie X̄- und R-Diagramme, auf Annahmen, die mit der Normalverteilung (Gaußverteilung) verbunden sind.
Eine in der Qualitätskontrolle häufig verwendete Statistik ist der Durchschnitt mehrerer Stichproben. Ein bekanntes Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der zentrale Grenzwertsatz. Das zentrale Grenzwertsatz besagt, dass sich die Stichprobenverteilung der Durchschnittswerte mit zunehmender Größe der Stichprobe einer Normalverteilung annähert, unabhängig von der Form der ursprünglichen Populationsverteilung. Der zentrale Grenzwertsatz wurde erstmals 1733 von Abraham de Moivre in einem speziellen Fall aufgestellt und dann 1810 von Pierre-Simon Laplace verallgemeinert und in einer allgemeineren Form bewiesen. Ihm wird oft die allgemeine Entdeckung und der Nachweis seiner Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zugeschrieben.
Shewhart nutzte dieses Theorem und stellte fest, dass die Festlegung von Kontrollgrenzen bei drei Standardabweichungen vom Prozessmittelwert – in beide Richtungen – ein praktisches Gleichgewicht zwischen dem Risiko, auf einen falschen Alarm zu reagieren, und dem Risiko, auf ein richtiges Signal nicht zu reagieren, bietet. (Ökonomische Kontrolle der Qualität des hergestellten Produkts, 1931)
SPC verwendet Kontrollkarten, um Datenpunkte zu überwachen und zu erkennen, wenn ein Prozess von seinem erwarteten normalen Verhalten abweicht, was auf mögliche Probleme hinweist. Wenn eine Statistik einer Normalverteilung folgt, wird erwartet, dass etwa 99,7% der Datenpunkte innerhalb von drei Standardabweichungen vom Mittelwert liegen. Wenn eine Messung außerhalb der 3-Sigma-Grenzen liegt, nehmen wir an, dass es eine besondere Ursache für die Abweichung gibt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert außerhalb der 3 Standardabweichungen liegt, nur 0,3 % (oder 1 von 370) beträgt und es keine besondere Ursache für die Abweichung gibt.
Obwohl der zentrale Grenzwertsatz anwendbar ist, ist er keine Voraussetzung für die Verwendung von Kontrollkarten. Es gibt Bereiche in der Statistik, in denen Normalität erforderlich ist. Zum Beispiel bei der Anwendung von Hypothesentests erfordern bestimmte Tests Normalität. Der F- und der t-Test setzen beispielsweise voraus, dass die Daten normalverteilt sind.
Auch bei der Berichterstattung über die Leistungsfähigkeit werden 99,7 % der Variation in die Berechnung einbezogen. Wenn die Daten nicht normal verteilt sind, können leichte Abweichungen auftreten, wenn Sie davon ausgehen, dass die Daten normal verteilt sind. Im Falle von starken Schwänzen in der Verteilung ist es ratsam, die nicht normalverteilte Fähigkeitsberechnung zu melden .
Irgendwie hat diese Normalitätsanforderung bei der Hypothesenprüfung und der Leistungsfähigkeit im Laufe der Jahre zu dem Missverständnis geführt, dass Normalität für die Anwendung von SPC und die Verwendung von Kontrollkarten erforderlich ist.
Warum also ist Normalität nicht erforderlich?
Die Drei-Sigma-Regel funktioniert (auch bei nicht-normalen Daten)
Wenn wirklich Normalität erforderlich wäre, würden Bereichsdiagramme nicht funktionieren, da sie niemals normal verteilt sind. Dennoch werden sie seit Jahrzehnten verwendet und sind nach wie vor äußerst effektiv.
Während statistische Tests wie der t-Test und der F-Test eine Normalverteilung voraussetzen, geht es bei SPC in der Produktion nicht um Hypothesentests. Es geht um die Beantwortung einer eher praktischen Frage: Ist mein Prozess stabil oder nicht? Und die gute Nachricht ist, dass SPC Ihnen auch dann wertvolle Erkenntnisse liefern kann, wenn Ihre Daten nicht normalverteilt sind.
Experten wie Donald Wheeler (Advanced Topics in Statistical Process Control) zeigen seit Jahrzehnten, dass es ein Mythos ist, dass Kontrollkarten aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes funktionieren. SPC ist darauf ausgelegt, reale Szenarien zu bewältigen. Tatsächlich zeigen die Ergebnisse von Wheeler – unterstützt durch frühere Arbeiten von Irving Burr, der 27 verschiedene nicht-normale Verteilungen analysierte -, dass Kontrollkarten selbst bei Daten mit extremer Schiefe (über 1,9) oder Kurtosis (über 12) zuverlässig sind, da in jeder Verteilung mehr als 99% der Messungen zwischen den 3-Sigma-Grenzen liegen. Das Grundprinzip gilt nach wie vor: Bei der Verwendung von 3-Sigma-Grenzwerten ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlalarms (ein Punkt, der aufgrund einer allgemeinen Abweichung außerhalb der Grenzwerte liegt) gering – weniger als 1 % – unabhängig von der zugrunde liegenden Verteilung. Das ist eine gute Nachricht für diejenigen unter uns, die nicht unter Lehrbuchbedingungen leben.
Arbeiten mit nicht-normalen Daten: Praktische Tipps, die funktionieren
Bei Hypothesentests empfiehlt es sich, Daten so zu transformieren, dass sie der Normalitätsannahme entsprechen. Wenn Sie Kontrolldiagramme zur Überwachung der Prozessstabilität verwenden möchten, kann die Transformation Ihrer Daten mehr schaden als nutzen. Die Bediener haben möglicherweise Schwierigkeiten, die Schwankungen in den transformierten Werten zu verstehen, wodurch die Kontrolldiagramme an praktischer Bedeutung verlieren können. Sofern Sie keine formellen statistischen Tests durchführen, empfehlen wir Ihnen dringend, die Daten in ihrer ursprünglichen Form zu belassen.
In den meisten Fällen müssen Sie Ihre Daten nicht transformieren oder nach einer perfekten Verteilungsübereinstimmung suchen. Hier erfahren Sie, wie Sie in der Praxis mit Nicht-Normalität umgehen:
In Qualis SPC 4.0 können Sie die Optionen „schiefe begrenzte Verteilungen“ und NCpk verwenden, um die spezifischen Verteilungsmodelle zu verwenden, die zur Bestimmung der besten Anpassungskurve und zur Berechnung der nicht normalen Fähigkeit verwendet werden sollen.
Schlussfolgerung: Konzentrieren Sie sich auf Prozesssignale, nicht auf Verteilungen
Nach all dem Gesagten und Gezeigten können wir sicher sein, dass die Daten nicht einer Normalverteilung folgen müssen, um Ihren Prozess unter Kontrolle zu halten. Die Erkenntnisse von Donald Wheeler zeigen, dass es bei der effektiven SPC darum geht, das Prozessverhalten zu verstehen. Indem Sie den Schwerpunkt von strengen Annahmen auf die Erkennung spezieller Ursachen für Abweichungen verlagern, erhalten Sie:
Anstatt sich um die Normalität zu sorgen, investieren Sie Ihre Energie in:
Wie Dr. Wheeler es ausdrückt: „Nicht die Form des Histogramms bestimmt Ihre Prozesskontrolle, sondern Ihre Signale.“
Wenn Sie die Prinzipien von Wheeler übernehmen, erhalten Sie eine praktischere, intuitivere Methode, um Prozesse stabil zu halten und kontinuierlich zu verbessern.
Wenn Ihre Daten also nicht lehrbuchmäßig perfekt sind? Machen Sie sich keine Sorgen. Kontrolltabellen wurden nicht für Lehrbücher, sondern für die Praxis entwickelt. Und genau deshalb funktionieren sie…
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Kostenreduzierung durch Kunden erreicht
Was Kunden sagen
„Datalyzer hat uns dabei geholfen, Qualitätsdaten aus allen Prozessen automatisch zu verknüpfen, um erweiterte Analysen durchzuführen
Dave Beeren
Yield engineer, Philips
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